Question

19．已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性（直接寫出結(jié)論不用證明 ）
（3）若對(duì)任意的t∈[0，1]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（2）函數(shù)f（x）是R是上的單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可

解答 解：（1）設(shè)g（x）=m^x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m²=4，∴m=2，∴g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{2•{2}^{x}+b}$，
∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f（2t²-2t）+f（2t²-k）＞0對(duì)于任意的t∈[0，1]恒成立，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）．
∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＞f（k-2t²）．
∵函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，∴t²-2t＜k-2t²，
∴k＞3t²-2t=2（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$對(duì)于任意的t∈[0，1]恒成立，
令H（x）=3t²-2t  t∈[0，1]，
只需k＞H（x）的最大值即可，
H（x）的最大值為H（1）=1，
∴k＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．