Question

已知α，β，γ∈（0，

π

2

），cosα+cosβ+cosγ=1，求tan²α+tan²β+8tan²γ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化所求表達(dá)式為三個角的余弦函數(shù)的形式，通過“1”的代換，利用基本不等式求解表達(dá)式的最值，即可．

解答： 解：α，β，γ∈（0，

π

2

），故三個角的三角函數(shù)值都大于0，
Y=tan²α+tan²β+8tan²γ=

1

cos2α

+

1

cos2β

+

8

cos2γ

-10，
而cosα+cosβ+cosγ=1可得：（cosα+cosβ+cosγ）²=1
為方便起見，令：cosα=x，cosβ=y，cosγ=z，x、y、z∈（0，1）．
則Y=

1

x2

+

1

y2

+

8

z2

-10
且（x+y+z）²=1∴Y=Y=

(x+y+z)2

x2

+

(x+y+z)2

y2

+

8(x+y+z)2

z2

-10，
即Y=(

y2

x2

+

x2

y2

)+(

z2

x2

+

8x2

z2

)+(

z2

y2

+

8y2

z2

)+(

2y

x

+

2x

y

)+(

2z

x

+

16x

z

)+(

2z

y

+

16y

z

)+(

2yz

x2

+

2zx

y2

+

16xy

z2

)≥2+4

2

+4

2

+4+8

2

+3

3	64

=18+24

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

2

4

z時取等號，
所以所求的最小值為18+24

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．本題是中檔題．