Question

函數(shù)f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx
（1）求f（

5π

12

）
（2）若f（α）=5

3

，α∈（

π

2

，π），求角α．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角恒等變換把三角函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，建立關(guān)于α的三角方程，通過解三角方程求出角α的值．

解答： 解：（1）f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx
=5

3

cos2x+

3

(1-cos2x)-2sin2x
=4

3

cos2x-2sin2x+

3

=4

3

cos2x+1

2

-2sin2x+

3

=2

3

cos2x-2sin2x+3

3

=4cos(2x+

π

6

)+3

3

所以：f(

5π

12

)=4cos(

10π

12

+

π

6

)+3

3

=3

3

-4
（2）由（1）得：f（x）=4cos(2x+

π

6

)+3

3

則：f(α)=4cos(2α+

π

6

)+3

3

=5

3

所以：4cos(2α+

π

6

)=2

3

進(jìn)一步求得：cos(2α+

π

6

)=

3

2

又α∈（

π

2

，π），
所以：2α+

π

6

=2kπ±

π

6

（k∈Z）
解得：當(dāng)k=1時(shí)，α=

5π

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，及三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題型．