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定義在實數集上的函數f（x）對任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，
（1）求證：f（0）=1
（2）求證：y=f（x）是偶函數．

解：（1）令x=y=0則有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）2f（0）=f（0）f（0），
因為f（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函數．
分析：本題考查的是抽象函數及其應用類問題．在解答時：
（1）在抽象表達式中令x=y=0代入表達式即可獲得問題的解答；
（2）在抽象表達式中令x=0，y不動，結合（1）的結論即可獲得f（-y）與f（y）之間的關系，從而獲得函數的奇偶性．
點評：本題考查的是抽象函數及其應用類問題．在解答的過程當中充分體現了抽象表達式的應用能力、特值的問題處理技巧以及必要的計算能力．同時函數的奇偶性定義也在題目中得到了體現．值得同學們體會和反思．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對于一切實數都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．給出如下命題：
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
③g（x）=2x為函數f（x）=ex的一個承托函數；
④g（x）=
1
2
x為函數f（x）=x2的一個承托函數．
其中，正確的命題個數是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數，x1≠x2．設函數g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數f（x）滿足xf（x）為偶函數，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當1≤x≤3時，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時，函數f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數f（x）滿足f（x+1）=
x
2
+2，則f-1（x+1）的表達式是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數y=f（x）滿足：
（1）對任意的x，y∈R，f（x+y）=2f（x）•f（y），（2）f(0)=
12
．
請寫出滿足上述條件（1）和（2）的一個函數
f（x）=2x-1或2-x-1
f（x）=2x-1或2-x-1
（寫出一個即可）

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