Question

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，那么實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題；通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=g（x），
∴kx=

lnx

x

，
∴k=

lnx

x2

，
令h（x）=

lnx

x2

，
∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，
∴h（x）=

lnx

x2

在[

1

e

，e]內(nèi)的圖象與直線y=k有兩個交點．
∴h′（x）=

1-2lnx

x3

，
令h′（x）=

1-2lnx

x3

=0，則x=

e

，
當x∈[

1

e

，

e

]內(nèi)h′（x）＞0，當x∈[

e

，e]內(nèi)h′（x）＜0，
當x=

e

，h（x）=

1

2e

，當x=e時，h（e）=

1

e2

，當x=

1

e

，h（x）=-e²，
故當k∈[

1

e2

，

1

2e

）時，該方程有兩個解．
故答案為：[

1

e2

，

1

2e

）

點評：本題考查通過導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點的個數(shù)，