Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R），討論f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)．把a(bǔ)代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點(diǎn)即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時(shí)方程無解；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．
∵f（1）=

1

2

＞0，f（e

1

a

）=

1

2

e

2

a

-1＜0，所以方程有惟一解．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

x2-a

x

因?yàn)楫?dāng)x∈（0，

a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，

a

）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時(shí)，f（x）在（

a

，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
所以當(dāng)x=

a

時(shí)，有極小值即為最小值f（

a

）=

1

2

a（1-lna），
當(dāng)a∈（0，e）時(shí)，f（

a

）=

1

2

a（1-lna）＞0，此方程無解；
當(dāng)a=e時(shí)，f（

a

）=

1

2

a（1-lna）=0此方程有惟一解x=

e

．
當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，f（

a

）=

1

2

a（1-lna）＜0
因?yàn)閒（1）=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，

a

）上有惟一解，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，（x-lnx）′＞0，則函數(shù)y=x-lnx在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x-lnx＞1-ln1=1，即x-lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）=

1

2

x²-alnx＞

1

2

x²-ax，因?yàn)?a＞

a

＞1，所以f（x）＞

1

2

（2a）²-2a²=0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（

a

，+∞）上有惟一解．所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有兩解．
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無解；當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時(shí)方程有兩解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分類討論的思想，計(jì)算能力，屬于難題．此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是一道綜合題．