Question

如圖，在雙曲線(xiàn)-=1的上支上有三點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它們與點(diǎn)F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）證明：線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，依據(jù)雙曲線(xiàn)第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6-）=+，求出y₁+y₃ 的值．
（2） 用點(diǎn)斜式求出 線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)的方程 為 y-6=-（x-） ①，
 把 ，，相減得 ，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  y=-x+，顯然過(guò)定點(diǎn)（0，）．
解答：（1）解：c==5，故F為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)F對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)為l，則l的方程 y=，離心率為e==，
由題設(shè)有2|FB|=|FA|+|FC|．①分別過(guò)A、B、C作x軸的垂線(xiàn)AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
則由雙曲線(xiàn)第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-）=+，∴y₁+y₃=12．
（2）證明：線(xiàn)段AC中點(diǎn)D（，6），線(xiàn)段AC的斜率為 ，
∴線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)的斜率為-，∴線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)的方程為 y-6=-（x-） ①，
 又A、C在雙曲線(xiàn)上，∴，，相減得 ，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)的方程為 y=-x+，
顯然過(guò)定點(diǎn)（0，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義．