Question

7．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．設(shè)∠DAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），L為等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)．
（1）求周長(zhǎng)L與θ的函數(shù)解析式；
（2）試問(wèn)周長(zhǎng)L是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值，并指出此時(shí)θ的大小；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由于AB是圓O的直徑，所以三角形ABD是直角三角形，連BD，過(guò)D作DE⊥AB于E，則由射影定理可知AD²=AE•AB，從而可用腰長(zhǎng)表示上底長(zhǎng)，進(jìn)而可求梯形的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)上底長(zhǎng)，可確定函數(shù)的定義域；
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．利用配方法可知函數(shù)函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）單調(diào)遞減，由此可求周長(zhǎng)y的最大值．

解答 解：（1）連接BD，則∠ADB=90°，
∴AD=BC=4cosθ．…（2分）
作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，
得AM=BN=ADcosθ=4cos²θ，
∴DC=AB-2AM=4-8cos²θ． …（4分）
∴△ABC的周長(zhǎng)L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4-8cos²θ）=8+8cosθ-8cos²θ． …（5分）
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．
則$L=-8{t^2}+8t+8=-8{（t-\frac{1}{2}）^2}+10$，…（8分）
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$時(shí)，L有最大值10．
∴當(dāng)θ=60°時(shí)，L存在最大值10．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題以半圓為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是腰長(zhǎng)表示上底長(zhǎng)，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值求法．