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已知函數
(I)討論函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)若曲線y=f(x)上兩點A、B處的切線都與y軸垂直,且線段AB與x軸有公共點,求實數a的取值范圍.
【答案】分析:(1)先對函數f(x)進行求導,根據導函數大于0原函數單調遞增,導函數小于0原函數單調遞減進行討論.
(2)由題意可值點AB應是函數f(x)的極值點,再根據線段AB與x軸有公共點可知以,從而得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由題設知

當(i)a>0時,
若x∈(-∞,0),則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數;
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數;
,則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數;
(ii)當a<0時,
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數;
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數;
,則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數;
若x∈(0,+∞),則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的討論及題設知,曲線y=f(x)上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值,
且函數y=f(x)在處分別是取得極值
因為線段AB與x軸有公共點,所以

所以
故(a+1)(a-3)(a-4)≤0,且a≠0.
解得-1≤a<0或3≤a≤4.
即所求實數a的取值范圍是[-1,0)∪[3,4].
點評:本題主要考查導函數的正負和原函數的增減性、極值點的關系.屬中檔題.導數是高考的必考點,要給予重視.
練習冊系列答案
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 (I)討論的單調性;

 (II)設,證明:當時,

 (III)若函數的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,

     證明:x0)<0.

 

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已知函數

(I)討論的單調性;

(II)設 .當時,若對任意,存在,(),使,求實數的最小值.

 

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(本題滿分12分)已知函數

   (I)討論的單調性;

   (II)設,證明:當時,;

   (III)若函數的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明:x0)<0.

 

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(本小題滿分12分)

已知函數:

(I) 討論函數的單調性;

(II)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的

,若函數在區(qū)間上有最值,求實數的取值范圍;

(Ⅲ)求證:.

 

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已知函數,.

(I)討論的單調性.

(II)當時,討論關于的方程的實根的個數.

 

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