Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，已知a₃=5，S₉=81，
①求數(shù)列{a_n}的通項公式；
②設bn=，證明{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項和T_n．
③設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n} 的前n項的和M_n．

Answer 1

解：①∵等差數(shù)列，a₃=5，S₉=81，
∴，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②∵bn=，
∴bn=2^2n-1=，
，，
，
∴{b_n}是以2以道貌岸然項，以4為公比的等比數(shù)列．
T_n==．
③∵c_n=a_n•b_n=（2n-1），
∴M_n=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4ⁿ，
++…++（2n-1）×4ⁿ⁺¹，
∴4ⁿ⁺¹
=2+-（2n-1）
=2+，
∴．
分析：①由等差數(shù)列中，a₃=5，S₉=81，利用通項公式和前n項和公式列出方程組，求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n=2n-1．
②由bn=，知bn=2^2n-1=，由此能夠證明{b_n}是以2以道貌岸然項，以4為公比的等比數(shù)列．并能求出其前n項和T_n．
③由c_n=a_n•b_n=（2n-1），知M_n=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4ⁿ，由錯位相減法能夠求出數(shù)列{c_n} 的前n項的和M_n．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列的證明，前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減求和法的靈活運用．