Question

集合C={f（x）|f（x）是在其定義域上的單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)}，集合D={f（x）|f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在a，b上的值域是[ka，kb]，k為常數(shù)}．
（1）當(dāng)k=

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）=

x

是否屬于集合C∩D？并說明理由．若是，則求出區(qū)間[a，b]；
（2）當(dāng)k=

1

2

0時(shí)，若函數(shù)f（x）=

x

+t∈C∩D，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)a+b≤2時(shí)，使函數(shù)f（x）=x²-2x+m∈D，若存在，求出m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）y=

x

的定義域是[0，+∞），在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，設(shè)y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，能求出區(qū)間是[a，b]．
（2）設(shè)g（x）=

x

+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數(shù)，由g（x）∈C∩D，知存在區(qū)間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）由f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，知當(dāng)a＜b≤1時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，由此能推導(dǎo)出m的范圍．

解答：解：（1）y=

x

的定義域是[0，+∞），
∵y=

x

在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
設(shè)y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，
由

a = 1 2 a b = 1 2 b

，解得

a=0 b=4

，
故函數(shù)y=

x

屬于集合C∩D，且這個(gè)區(qū)間是[0，4]．
（2）設(shè)g（x）=

x

+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數(shù)，
∵g（x）∈C∩D，∴存在區(qū)間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，
∴方程g（x）=

1

2

x在[0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
方程

x

+t=

1

2

x在[0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
令

x

=m，則其化為m+t=

1

2

m2，
即m²-2m-2t=0有兩個(gè)非負(fù)的不等實(shí)根，
∴

△=4+8t＞0 x1+x2=2＞0 x1x2=-2t≥0

，解得-

1

2

＜t≤0．
（3）f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，
∴當(dāng)a＜b≤1時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，

b=m-2a+a2 a=m-2b+b2

，
兩式相減，得a+b=1，
∴

1-a=m-2a+a2 1-b=m-2b+b2

，

0=m-1-a+a2 0=m-1-b+b2

，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有兩個(gè)不同的解，
解得m∈[1，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．