設f（x）=2asinxcosx+2bcos2x-b，（a，b∈R+）若f（x）≤f（
π
6
）對一切x∈R恒成立，給出下列結論：
①f（-
π
12
）=0； ②f（x）的圖象關于點（
5π
12
，0）對稱；
③f（x）的圖象關于直線x=
5π
12
對稱；
④f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）；
⑤f（x）與g(x)=cos(2x-
π
3
)的單調區(qū)間相同．
其中正確結論的序號是
①②⑤
①②⑤
．（填上所有正確結論的序號）
分析：化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（
π
6
 ） 是三角函數(shù)的最大值，得到x=
π
6
是三角函數(shù)的對稱軸，由此可求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數(shù)的性質，對選項逐個判斷．
解答：解：f（x）=2asinxcosx+2bcos2x-b=asin2x+bcos2x
=
a2+b2
sin（2x+θ），其中tanθ=
b
a
，所以周期T=π，
又f（x）≤f（
π
6
）對一切x∈R恒成立，
故x=
π
6
處為最大值點，即x=
π
6
為函數(shù)圖象的對稱軸，
故2×
π
6
+θ=kπ+
π
2
，解得θ=kπ+
π
6
，k∈Z，
故f（x）=
a2+b2
sin（2x+kπ+
π
6
）=±
a2+b2
sin（2x+
π
6
），
又x=
π
6
處為最大值點，故f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
），
故①f（-
π
12
）=）=
a2+b2
sin0=0，故正確；
②由2x+
π
6
=kπ，可得x=
kπ
2
-
π
12
，k∈Z，當k=1時，x=
5π
12
，故圖象關于點（
5π
12
，0）對稱，故正確；
③由2x+
π
6
=kπ+
π
2
，可得x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z，令
kπ
2
+
π
6
=
5π
12
，解得k=
1
8
∉Z，故x=
5π
12
不是對稱軸，故錯誤；
④由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，故的函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z），故錯誤；
⑤函數(shù)f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
）=
a2+b2
cos（
π
2
-2x-
π
6
）=
a2+b2
cos（
π
3
-2x）=
a2+b2
cos（2x-
π
3
），故函數(shù)f（x）與g(x)=cos(2x-
π
3
)的單調區(qū)間相同，故正確．
故答案為：①②⑤
點評：本題考查三角函數(shù)的對稱軸過三角函數(shù)的最值點、考查研究三角函數(shù)的性質常用整體處理的思想方法，屬中檔題．
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已知向量
m
=（2cos2x，sinx），
n
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m
⊥
n
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m
•
n
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(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
．

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x+2      (x≤-1)
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3
3
．

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