Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）=

g(x)

x

，
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a＞0可知二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，求出對(duì)稱軸方程，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；
（2）利用（1）中求出的函數(shù)解析式，把不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解轉(zhuǎn)化為

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解，分離變量k后，構(gòu)造輔助函數(shù)，由k小于等于函數(shù)
在x∈[-1，1]上的最大值求k的取值范圍，然后利用換元法化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值．

解答：解：（1）函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），
∵a＞0，對(duì)稱軸為x=1，所以g（x）在區(qū)間[0，3]上是先減后增，
又g（x）在區(qū)間[0，3]上有最大值4和最小值1．
故

g(1)=1-2a+1+b=1 g(3)=9a-6a+1+b=4

，解得

a= 3 4 b= 3 4

；
（2）由（1）可得f(2x)=

g(2x)

2x

=

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

，
所以f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，可化為

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解．
即k≤[

3

4

-

3

2

•

1

2x

+

7

4

•(

1

2x

)2]max．
令t=

1

2x

，∵x∈[-1，1]，故t∈[

1

2

，2]，
記h(t)=

7

4

t2-

3

2

t+

3

4

，對(duì)稱軸為：t=

3

7

，
∵t∈[

1

2

，2]，h（t）單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=2時(shí)，h（t）最大值為

19

4

．
所以k的取值范圍是k≤

19

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于把不等式在閉區(qū)間上有解轉(zhuǎn)化為分離變量后的參數(shù)k小于等于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，是學(xué)生難以想到的地方，是難題．