Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2，動點(diǎn)P在對角線BD₁上，過點(diǎn)P作垂直于BD₁的平面α，記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y，設(shè)BP＝x，則當(dāng)x∈[1,5]時，函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)?　　)

A．[2，6]                        B．[2，18] 

C．[3，18]                          D．[3，6]

Answer 1

D

[解析]　當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向D₁運(yùn)動時，截面的周長y越來越大，當(dāng)截面經(jīng)過平面AB₁C時，周長最大，當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)移動時，在截面AB₁C到截面A₁DC₁之間，截面周長不變，當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)移動時，截面周長越來越小，所以截面周長的最大值就是△AB₁C的周長．因?yàn)檎�方體的棱長為2，所以AC＝2，即周長為6.當(dāng)x＝1時，截面的周長最小，如圖，

設(shè)△EFG的邊長為，BF²＋BE²＝EF²＝，又BF＝BE，所以BE＝，連接EP交FG于點(diǎn)M，連接BM，因?yàn)?i>P是等邊三角形EFG的中心，所以FM＝，所以EM²＝EF²－FM²＝²，因?yàn)?i>EP＝EM，所以EP＝.又BP²＋EP²＝BE²，即1²＋，得y＝3，所以值域?yàn)閇3，6](或由平面AB₁C∥平面FEG，BP＝1可知E，F，G分別是BB₁，AB，BC的中點(diǎn)，則△EFG的周長為△AB₁C的一半，即3)．