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19.已知角α的終邊經(jīng)過點31,則對函數(shù)f(x)=sinαcos2x+cosαcos(2x-\frac{π}{2})的表述正確的是(  )
A.對稱中心為(\frac{π}{3},0)
B.函數(shù)y=sin2x向左平移\frac{5π}{6}個單位可得到f(x)
C.f(x)在區(qū)間(-\frac{2π}{3},-\frac{π}{6})上遞增
D.方程f(x)=0在區(qū)間[-\frac{5π}{6},0]上有三個零點

分析 由題意:角α的終邊經(jīng)過點(-\sqrt{3},1),求出sinα,cosα的值,帶入化簡函數(shù)f(x),根據(jù)三角函的性質(zhì)對下列各選項進行判斷即可得到答案.

解答 解:由題意:角α的終邊經(jīng)過點(-\sqrt{3},1),
那么:sinα=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}}=\frac{1}{2},cosα=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
則:函數(shù)f(x)=sinαcos2x+cosαcos(2x-\frac{π}{2})
=\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x
=cos(2x+\frac{π}{3}
對稱中為(\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12},0)(k∈Z),考查A不對.
函數(shù)y=sin2x向左平移\frac{5π}{6}個單位得到:sin2(x+\frac{5π}{6})=cos(2x-\frac{π}{3}),故B不對.
函數(shù)f(x)在2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ,(k∈Z)是增函數(shù),考查C對.
如果x∈[-\frac{5π}{6},0]上,則-\frac{4π}{3}≤2x+\frac{π}{3}\frac{π}{3},(k∈Z),方程f(x)=0只有1個零點.D不對.
故選C.

點評 本題考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的化簡計算,性質(zhì)的綜合應用.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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③若0<2α<β+2且f(α)=f(β+3),則必有-\frac{1}{12}≤3α2+β<\frac{2}{3};
④已知定義在R上的函數(shù)F(x)對任意x均有F(x)=F(-x)成立,且當x∈[0,3]時,F(xiàn)(x)=f(x),又函數(shù)h(x)=-x2+c(c為常數(shù)),若存在x1、x2∈[-1,3]使得|F(x1)-h(x2)|<1成立,則c的取值范圍是(-1,13)
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