Question

已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有意義，f（）=-1，且對(duì)任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若數(shù)列）．
（3）求證：）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)；
（2）1+x_n²≥2|x_n|得到：|，即有||＜1，進(jìn)一步得出=2，{f（x_n）}是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
求得f（x_n）；
（3）用等比數(shù)列的求和公式可求，由是遞減數(shù)列，可得到證明．
解答：解：（1）令x=y=0，則2f（0）=f（0），即f（0）=0（1分）
又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0（3分）
即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（2）1+x_n²≥2|x_n|∴|，∴||＜1
f（x₁）=f（）=-1
而f（x_n+1）=f（）．（7分）
∴=2（8分）
∴{f（x_n）}是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
故f（x_n）=-2^n-1（9分）
（3）（11分）
∵-）
又-）
故）（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng)及通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)關(guān)系合理的賦值，還考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式及數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最值的應(yīng)用，綜合的知識(shí)較多．