【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）分別討論,,時(shí)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）由（1）可知時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn), ,設(shè),由,可得存在,則在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),即為最小值,故證明即可.

（1）由題,

當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)

又時(shí),

∴有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),∴無(wú)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)

又時(shí),時(shí),

∴在上存在唯一零點(diǎn)

∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)

又時(shí),時(shí),

當(dāng)時(shí),

∴有兩個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,∴

∴

∴有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),在上無(wú)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

∴

∴在上也無(wú)零點(diǎn)

∴在上無(wú)零點(diǎn)

綜上：時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)

或時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)

時(shí)無(wú)零點(diǎn)

（2）證明：由（1）知,

令,在上是增函數(shù)

又,

∴存在,使

∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)

∴

∵

∴

∴

∵

∴

又

∴

∴

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，且，且.

（1）若，試判斷的奇偶性；

（2）若，，，證明的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并求出對(duì)稱(chēng)軸.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱(chēng)為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根、（），稱(chēng)為的特征根.

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）已知為給定實(shí)數(shù)，求的表達(dá)式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，研究函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公園草坪上有一扇形小徑（如圖）,扇形半徑為,中心角為,甲由扇形中心出發(fā)沿以每秒2米的速度向快走,同時(shí)乙從出發(fā),沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,記秒時(shí)甲、乙兩人所在位置分別為,，通過(guò)計(jì)算，判斷下列說(shuō)法是否正確：

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

（3）若最小，則；

（4）在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)；

其中正確的判斷序號(hào)是______（把你認(rèn)為正確的判斷序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某社會(huì)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對(duì)手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?

（2）若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名，求這3名被調(diào)查者中恰有1名對(duì)手機(jī)游戲無(wú)興趣的概率.

附：

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，此正方形沿軸滾動(dòng)（向左或向右均可），滾動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.

（1）寫(xiě)出的值并求出頂點(diǎn)到的最小運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度的值；

（2）寫(xiě)出函數(shù)，，的表達(dá)式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無(wú)需證明）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱(chēng)為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿(mǎn)足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是

A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中無(wú)理數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的極值點(diǎn)有三個(gè)，最小的記為，最大的記為，若的最大值為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以下四個(gè)命題中：①在回歸分析中，可用相關(guān)系數(shù)r的值判斷模型的擬合效果，|r|越大，模擬的擬合效果越好；②在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線(xiàn)上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為；③對(duì)分類(lèi)變量x與y的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大．其中真命題的個(gè)數(shù)為__________．

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