Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）P（

5π

12

，3），Q（

11π

12

，-3）分別是f（x）圖象上相鄰的最高點和最低點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五點法”作出f（x）在一個周期內的圖象；
（3）若θ∈（0，π），且f（θ）＞

3

2

，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接根據三角函數圖象過點P、Q求解即可；
（2）利用五點法畫出圖象即可；
（3）首先，求解三角不等式，然后，結合給定的范圍求解即可．

解答： 解：（1）∵函數過點P（

5π

12

，3），Q（

11π

12

，-3），
∴A=3，
由題意，得

1

2

T=

π

2

，∴T=π，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
將點P（

5π

12

，3）代人，得
3sin（

5π

6

+φ）=3，|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

），
（2）根據五點法畫圖，得
當2x-

π

3

=0，即x=

π

6

時，y=0；
當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，y=3；
當2x-

π

3

=π，即x=

2π

3

時，y=0；
當2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，y=-3；
當2x-

π

3

=2π，即x=

7π

6

時，y=0，
如下表所示：

2x- π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	7π 6
y=3sin（2x- π 3 ）	0	3	0	-3	0

對應的圖象如下圖所示：

（3）∵f（θ）=3sin（2θ-

π

3

）＞

3

2

，
∴sin（2θ-

π

3

）＞

1

2

，
∴

π

4

+kπ≤x≤

7π

12

+2kπ，k∈Z，
∵θ∈（0，π），
∴所求θ的取值范圍（

π

4

，

7π

12

），

點評：本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的五點法作圖、三角不等式等知識，屬于中檔題．