Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AA₁=2，AB=2

2

，M為AA₁的中點．
（1）若點N是線段AC上異于A、C的一動點，求異面直線BC與A₁N所成角的大�。�
（2）若二面角C-BM-A的大小為60°，求BC的長；
（3）在（2）的條件下，求AB₁與面BCM所成角的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角與二面角的關系即可得出；
（3）由（2）可得

AB1

=(

6

，-

2

，2)，平面BCM的法向量為

m

=（0，-1，

2

）．設AB₁與面BCM所成角為θ．利用sinθ=|cos＜

AB1

，

m

＞|=

| AB1 • m |

| AB1 || m |

即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，
∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC．
又∵BC⊥AC，AC∩AA₁=A．
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁N．
∴異面直線BC與A₁N所成角為90°．
（2）設B（a，0，0），則A(0，

8-a2

，0)，M(0，

8-a2

，1)．
∴

BM

=(-a，

8-a2

，1)，

CB

=（a，0，0），

AM

=（0，0，1）．
設平面BCM的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • BM =-ax+ 8-a2 y+z=0 m • CB =ax=0

，令z=

8-a2

，解得x=0，y=-1．
∴

m

=(0，-1，

8-a2

)．
同理可得平面ABM的法向量

n

=(

8-a2

，a，0)．
∵二面角C-BM-A的大小為60°，
∴cos60°=

| m • n |

| m || n |

=

a

9-a2 8

=

1

2

，解得a=

6

．
∴|BC|=

6

．
（3）由（2）可得

AB1

=(

6

，-

2

，2)，
平面BCM的法向量為

m

=（0，-1，

2

）．
設AB₁與面BCM所成角為θ．
∴sinθ=|cos＜

AB1

，

m

＞|=

| AB1 • m |

| AB1 || m |

=

3 2

12 × 3

=

2

2

．
∴AB₁與面BCM所成角的正弦值為

2

2

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量的夾角求二面角、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角的求法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．