Question

下列函數(shù)中，最小值為4的有（　　）個(gè)．
①y=

x2

x-1

（x＞1）
②y=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

③y=4^x-2^x+1+5（x＞0）
④f（x，y）=x²+y²-2x+4y+9
⑤f（x，y）=

(x+y)2

xy

．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出，注意“一正二定三相等”的使用法則．

解答： 解：①∵x＞1，∴y=

x2

x-1

=

x2-1+1

x-1

=x-1+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號．其最小值為4．
②y=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

≥2

sin2x+2 × 4 sin2x+2

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=2時(shí)取等號，滿足此等式的x不存在，因此等號不成立，其最小值不是4．
③∵x＞0，∴2^x＞1，∴y=4^x-2^x+1+5=（2^x）²-2•2^x+5=（2^x-1）²+4＞4，其最小值不是4．
④f（x，y）=x²+y²-2x+4y+9=（x-1）²+（y+2）²+4≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=-2時(shí)取等號，其最小值為4．
⑤當(dāng)xy＜0時(shí)，f（x，y）=

(x+y)2

xy

≤0．其最小值不是4．
綜上可得：只有①④正確．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意“一正二定三相等”的使用法則，考查了推理能力，使用基礎(chǔ)題．