Question

設(shè)F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，直線l過(guò)焦點(diǎn)F₂且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)橢圓離心率為e，則e²=（　�。�

• A、2-

  3

• B、3-

  2

• C、11-6

  3

• D、9-6

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：可設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=

2

m，再由橢圓的定義和周長(zhǎng)的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：可設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=

2

m，
由橢圓的定義可得△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，
即有4a=2m+

2

m，即m=2（2-

2

）a，
則|AF₂|=2a-m=（2

2

-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，
即4c²=4（2-

2

）²a²+4（

2

-1）²a²，
即有c²=（9-6

2

）a²，
即有e²=

c2

a2

=9-6

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵．