Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，a_n+1=

pan+n-1(n為奇數(shù)) -an-2n(n為偶數(shù))

（1）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1，試求數(shù)列{b_n}前3項的和T₃；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_2n，試判斷{c_n}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）當(dāng)p=

1

2

時，問是否存在n=N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）據(jù)題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，從而T_n=-2n（n+1），由此能求出T₃．
（2）c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，從而

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，由此得到當(dāng)p=

1

2

時，數(shù)列{c_n}是首項為1，公比為-

1

2

等比數(shù)列；當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不成等比數(shù)列．
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，當(dāng)p=

1

2

時a_2n=c_n=（-

1

2

）^n-1，S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）=-2n²-2n+2（n≥1），由（S_2n+1-10）c_2n=1，得4n²+4n+16=4ⁿ，由此能求出僅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立．

解答： 解：（1）據(jù)題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
∴{b_n}成等差數(shù)列，
∴T_n=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1），
∴T₃=-24．
（2）∵數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_2n，
∴當(dāng)p=

1

2

時，數(shù)列{c_n}成等比數(shù)列；當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不為等比數(shù)列．
理由如下：
∵c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
∴

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，
故當(dāng)p=

1

2

時，數(shù)列{c_n}是首項為1，公比為-

1

2

等比數(shù)列；
當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不成等比數(shù)列．
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差數(shù)列
當(dāng)p=

1

2

時a_2n=c_n=（-

1

2

）^n-1，
S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1
=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n²-2n+2（n≥1），
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，∴4n²+4n+16=4ⁿ，
設(shè)f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
則g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）遞增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴僅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立．

點評：本題考查的知識點是等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，其中熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，能熟練的判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列是解答本題的關(guān)鍵．