Question

已知：關(guān)于x的方程2x²-（+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）+的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得 ，再根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡+ 為 sinθ+cosθ，從而求得結(jié)果．
（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ= 以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得 1+m=，由此解得 m的值．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ 和cosθ 的值，從而求得故此時方程的兩個根及θ的值．
解答：解：（1）由于關(guān)于x的方程2x²-（+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，故有 ，
∴+=+==sinθ+cosθ=．

（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=，即 1+m=，解得 m=．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ=，cosθ=； 或者 sinθ=，cosθ=．
故此時方程的兩個根分別為 、，對應(yīng)θ的值為 或．
點評：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．