Question

A高校自主招生設(shè)置了先后三道程序：部分高校聯(lián)合考試、本校專業(yè)考試、本校面試．在每道程序中，設(shè)置三個成績等級：優(yōu)、良、中．若考生在某道程序中獲得“中”，則該考生在本道程序中不通過，且不能進(jìn)入下面的程序．考生只有全部通過三道程序，自主招生考試才算通過．某中學(xué)學(xué)生甲參加A高校自主招生考試，已知該生在每道程序中通過的概率均為

3

4

，每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為p₁、

1

2

、p₂．
（1）求學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試的概率；
（2）設(shè)X為學(xué)生甲在三道程序中獲優(yōu)的次數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，得

p1+ 1 2 = 3 4 p1+p2= 1 2

，解得p₁=p₂=

1

4

．由此能求出學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試的概率．
（2）由題意知，X=0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由題意，得

p1+ 1 2 = 3 4 p1+p2= 1 2

，解得p₁=p₂=

1

4

．
設(shè)事件A為學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試，
則P（A）=

1

4

+

3

4

×

1

4

+

3

4

×

3

4

×

1

4

=

37

64

．
∴學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試的概率為

37

64

．
（2）由題意知，X=0，1，2，3．
P（X=0）=

1

4

+

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

9

16

，
P（X=2）=

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

2

+

1

4

×

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

4

×

1

4

=

7

64

，
P（X=3）=

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

64

，
∵

3

i=0

P（X=i）=1，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）-P（X=3）=

5

16

．
∴X的概率分布為：

X	0	1	2	3
P	9 16	5 16	7 64	1 64

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×

9

16

+1×

5

16

+2×

7

64

+3×

1

64

=

37

64

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．