(1)求證:數(shù)列{xn}是等比數(shù)列;
(2)如果yn=18-3n,求實(shí)數(shù)k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得點(diǎn)(t,ys)和(s,yt)都在直線y=2x+1上,試判斷,是否存在自然數(shù)M,當(dāng)n>M時(shí),xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)證明:∵點(diǎn)Pn,Pn+1都在直線y=kx+b上,∴=k,得(k-1)xn+1=kxn.
∵常數(shù)k≠0,且k≠1,∴(非零常數(shù)).∴數(shù)列{xn}是等比數(shù)列.
(2)由yn=log0.5xn,得xn==8n-6=8-58n-1,∴
=8,得k=
.
由Pn在直線上,得Sn=kxn+b,令n=1得b=S1x1=
x1=
.
(3)xn>1恒成立等價(jià)于yn<0,
∵存在t,s∈N,使得(t,ys)和(s,yt)都在y=2x+1上,∴ys=2t+1,①
yt=2s+1,②
①-②,得ys-yt=2(t-s).易證{yn}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則有ys-yt=(s-t)d,
∵s≠t,∴d=-2<0.①+②,得ys+yt=2(t+s)+2,
又ys+yt=y1+(s-1)(-2)+y1+(t-1)(-2)=2y1-2(s+t)+4,
由2y1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y1=2(t+s)-1>0,
即數(shù)列{yn}是首項(xiàng)為正,公差為負(fù)的等差數(shù)列,
∴一定存在一個(gè)最小自然數(shù)M,使
即
解得t+s
<M≤t+s+
.∵M(jìn)∈N,∴M=t+s,
即存在自然數(shù)M,其最小值為t+s,使得當(dāng)n>M時(shí),xn>1恒成立.
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