【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）.

【解析】

解法一：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，其切點(diǎn)為，

則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為： ，

因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，

即 ，

∵，∴，

設(shè)，

∵， ， ，

∴在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根

又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻�(gè)根，所以方程恰有三個(gè)根，

故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．

（Ⅱ）∵當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)， ，

設(shè)，則，

設(shè)，則．

（1）當(dāng)時(shí)，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

∴在上單調(diào)遞增，

又∵，∴當(dāng)時(shí)， ，從而當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

從而當(dāng)時(shí)， ，即

于是當(dāng)時(shí)， ．

（2）當(dāng)時(shí)，令，得，∴，

故當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，

又∵，∴當(dāng)時(shí)， ，

從而當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，又∵，

從而當(dāng)時(shí)， ，即

于是當(dāng)時(shí)， ，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

，

設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，其切點(diǎn)為，

則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，

因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，

即 ，

∵，∴

設(shè)，則，令得

當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：

+

0

-

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

∴恰有三個(gè)根，

故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．

（Ⅱ）同解法一．

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A.
B.
C.
D.

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