Question

若直線ax+2by-2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，則

1

a

+

2

b

的最小值為

3+2

2

，ab的取值范圍是

(0，

1

4

]

．

Answer 1

分析：先求出圓的圓心坐標，由于直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心，從而有a+b=1，再將

1

a

+

2

b

表示為

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)，利用基本不等式可求．

解答：解：x²+y²-4x-2y-8=0可化為：（x-2）²+（y-1）²=13，∴圓的圓心是（2，1）
∵直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心（2，1）
把（2，1）代入直線ax+2by-2=0，得a+b=1
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

∵a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

0≤ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

故答案為：3+2

2

，(0，

1

4

]

點評：本題的考點是直線和圓的方程的應用，主要考查圓的對稱性，考查利用基本不等式求最值，關鍵是利用“1”的代換．