Question

（2009•成都二模）已知曲線y=2sinx與曲線y=ax²+bx+

3

的一個交點P的橫坐標為

2π

3

，且兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓，則a與b的值分別為（　�。�

• A．a=

  3

  π

  ，b=1
• B．a=

  3

  π

  ，b=-1
• C．a=-

  3

  2π

  ，b=1
• D．a=

  3

  2π

  ，b=-1

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出點P的坐標，再代入曲線y=ax²+bx+

3

上得到關(guān)于a與b的一個關(guān)系式；求出兩切線方程，再結(jié)合兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓對應(yīng)的兩切線斜率乘積為-1得到關(guān)于于a與b的另一個關(guān)系式，聯(lián)立兩個關(guān)系式即可求出答案．

解答：解：因為點P橫坐標

2π

3

，
點P在y=2sinx上，因此點P坐標是（

2π

3

，

3

）；
點P在y=ax²+bx+

3

上，因此有

2π

3

a+b=0①
y=2sinx在點P處的切線的斜率為2cos

2π

3

=-1，
因為兩切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰有外接圓，且P點在第一象限．
因此兩切線垂直（有外接圓的四邊形對角和為180度）．即兩切線斜率乘積為-1．
因此，y=ax²+bx+

3

在點P處的斜率為1．
又y′=2ax+b可以得出其在點P處的斜率為2a×

2π

3

+b=1 ②．
由①②得：

a= 3 2π b=-1

．
故選：D．

點評：本題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．解決本題的關(guān)鍵在于結(jié)合兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓得到對應(yīng)的兩切線斜率乘積為-1．