Question

已知x=-2和x=1為函數f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（a，b∈R）的兩個極值點．
（1）求a和b的值        
（2）設g（x）=

2

3

x3-x2，比較f（x）和g（x）的大�。�

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數單調性的性質

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）根據題意，求出f（x）的導函數，令導函數在-2，1處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（2）求出f（x）-g（x）的解析式，將差因式分解，構造函數h（x），利用導函數求出h（x）的最小值，判斷出差的符號，判斷出f（x）與g（x）的大小關系．

解答： 解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1為f（x）的極值點，得

f′(-2)=0 f′(1)=0

即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解得

a=- 1 3 b=-1

（2）由（1）得f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²，
故f（x）-g（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²-（

2

3

x3-x2）=x²（e^x-1-x）．
令h（x）=e^x-1-x，則h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1．
h'（x）、h（x）隨x的變化情況如表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	0	↗

由上表可知，當x=1時，h（x）取得極小值，也是最小值；即當x∈（-∞，+∞）時，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，所以f（x）-g（x）≥0，
故對任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0；考查利用導數判斷函數的單調性、考查通過導數求函數的最值進一步證明不等式．屬于中檔題．