Question

已知數(shù)列{a_n}．{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₄=b₈，a_n+1=2a_n+1，b_n+2-2b_n+1+b_n=0，n∈N^*
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）通過a_n+1=2a_n+1，推出{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
求數(shù)列{a_n} 的通項公式；利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0，推出{b_n}是等差數(shù)列．求出通項公式．
（II）寫出a_n•b_n的表達式，求出它的前n項和S_n的表達式，利用錯位相減法求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（2分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．                  …（4分）
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+1=

bn+2+bn

2

，n∈N^*，∴{b_n}是等差數(shù)列．
∵b₁=1，b₈=a₄=15，∴d=2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N^*．                     …（6分）
（II）∵a_n•b_n=（2n-1）（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），
∴S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ-（1+3+…+2n-1）．…（7分）
設(shè)A=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
則2A=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…（9分）
以上兩式相減得：A=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6，
因此，S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²．                     …（12分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列通項公式的求法，構(gòu)造新數(shù)列是解題的關(guān)鍵，錯位相減法是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積的數(shù)列求法的常用方法，值得同學(xué)注意，高考�？碱}目類型．