Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +lnx﹣3有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2） （Ⅰ）求證：0＜a＜e2
（Ⅱ）求證：x1+x2＞2a．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）= ，
①a≤0時，f′（x）≥0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
不可能有2個零點；
②a＞0時，在區(qū)間（0，a）上，f′（x）＜0，在區(qū)間（a，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，a）遞減，在區(qū)間（a，+∞）遞增；
f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，
由題意得：有f（a）＜0，則0＜a＜e2；
（Ⅱ）要證x1+x2＞2a，只要證x2＞2a﹣x1 ，
易知x2＞a，2a﹣x1＞a，
而f（x）在區(qū)間（a，+∞）遞增，
∴只要證明f（x2）＞f（2a﹣x1），
即證f（x2）＞f（2a﹣x1），
設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），
則g（a）=0，且區(qū)間（0，a）上，
g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）= ＜0，
即g（x）在（0，a）遞減，
∴g（x1）＞g（a）=0，
而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，
∴x1+x2＞2a．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出a的范圍即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明f（x2）＞f（2a﹣x1），設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．