Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角；
（2）M為BC₁上一點(diǎn)且BM=，在AB₁上找一點(diǎn)N使得MN∥A₁C．

Answer 1

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0）
（1）=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，1，0）
設(shè)平面ABC₁D₁所的法向量為=（x，y，z）
則．取=（1，0，1）
cos＜，＞===
設(shè)直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角為θ
則sinθ=，又θ∈[0，]
∴θ=
∴直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角為
（2）=（-1，1，-1），=（-1，0，1），
∵BM=，
∴==（-，0，）
設(shè)=λ=λ（0，-1，-1）=（0，-λ，-λ）
則=++=（，0，-）+（0，0，1）+（0，-λ，-λ）=（，-λ，-λ）
∵M(jìn)N∥A₁C．
∴（，-λ，-λ）=μ（-1，1，-1），∴
解得λ=

∴當(dāng)=時(shí)，MN∥A₁C．
分析：先以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，（1）先利用線面垂直的判定定理求平面ABC₁D₁的法向量，再求與此法向量的夾角的余弦值，其絕對(duì)值就是線面角的正弦值；
（2）設(shè)=λ，將用λ表示，要使MN∥A₁C，只需存在μ，使=μ，列方程組即可解得λ的值，從而確定N點(diǎn)位置
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間線面角的求法，空間線線平行的判定，空間直角坐標(biāo)系與空間向量在解題中的應(yīng)用，需要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力