Question

【題目】已知集合A=a1 ， a2 ， a3 ， …，an ， 其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數．
（Ⅰ）設集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n ， 求證： ；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題中的定義可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．
（Ⅱ）證明：因為ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有 個值，所以 ．
又集合A=2，4，8，，2n ， 任取ai+aj ， ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
當j≠l時，不妨設j＜l，則ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al ，
即ai+aj≠ak+al ． 當j=l，i≠k時，ai+aj≠ak+al ．
因此，當且僅當i=k，j=l時，ai+aj=ak+al ．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，
所以 ．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值為2n﹣3．
不妨設a1＜a2＜a3＜…＜an ， 可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an ，
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3個不同的數，即l（A）≥2n﹣3．
事實上，設a1 ， a2 ， a3 ， ，an成等差數列，
考慮ai+aj（1≤i＜j≤n），根據等差數列的性質，
當i+j≤n時，ai+aj=a1+ai+j﹣1；
當i+j＞n時，ai+aj=ai+j﹣n+an；
因此每個和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一個，
或者等于al+an（2≤l≤n﹣1）中的一個．
所以對這樣的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值為2n﹣3
【解析】（Ⅰ）直接利用定義把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；（Ⅱ）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有 個值，可得 ；再利用定義推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，即可證明結論．（Ⅲ）l（A）存在最小值，設a1＜a2＜＜an ， 所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an ． 由此即可證明l（A）的最小值2n﹣3．