Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1．
（1）若a=2，解關(guān)于x 的不等式f（x）≥0；
（2）若對(duì)于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，解一元二次不等式即可．（2）根據(jù)一元二次不等式不等式的性質(zhì)，建立恒成立的等價(jià)條件，進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）若a=2，不等式f（x）≥0等價(jià)為2x²-5x+3≥0，
解得x≥

3

2

或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集為{x|x≥

3

2

，或x≤1}．
（2）∵ax²-（2a+1）x+a+1=a（x-1）²-（x-1），
令g（a）=a（x-1）²-（x-1），
則g（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)的系數(shù)為（x-1）²≥0，
∴當(dāng)x-1=0時(shí)，f（x）=0不合題意；
當(dāng)x≠1時(shí)，g（a）為[-2，2]上的增函數(shù)，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，
即g（2）=2（x-1）²-（x-1）＜0，
解得1＜x＜

3

2

，
綜上，x的取值范圍是(1，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．