Question

已知函數(shù)f（t）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都滿足f²（x+y）=f（x）+2[f（y）]，f（1）≠0，則f（2003）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：應(yīng)用賦值法，令x=y=0求出f（0），再令x=0，y=1或x=1，y=0，推出f（1）=f（0），根據(jù)f（1）≠0，求出f（0），再令x=2003，y=0或x=0，y=2003，得到f（2003）=f（0）=3．

解答： 解：令x=y=0，則f²（0）=f（0）+2f（0）即f（0）=0或3，
令x=0，y=1則f²（1）=f（0）+2f（1），①
令x=1，y=0則f²（1）=f（1）+2f（0），②
由①②得，f（1）=f（0），
∵f（1）≠0，∴f（1）=f（0）=3，
令x=2003，y=0，則f²（2003）=f（2003）+2f（0），③
令x=0，y=2003，則f²（2003）=f（0）+2f（2003），④
由③④得，f（2003）=f（0）
∵f（0）=3，∴f（2003）=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵，應(yīng)掌握．