在正四面體ABCD中,E、F分別是BC、AD中點(diǎn),則異面直線AE與CF所成的角是 .(用反三角值表示)
【答案】
分析:連接ED,取ED的中點(diǎn)M,連接CM、FM,則FM∥AE,且FM=
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AE,所以異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角,然后在Rt△MEC中,借助正弦或余弦定理解出所求的角.
解答:
解:如圖所示:設(shè)正四面體ABCD的棱長為a,
連接ED,取ED的中點(diǎn)M,連接CM、FM,則FM∥AE,且FM=
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AE,
∴異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角,
∵AE=CF=
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a,
∴FM=
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a
在Rt△MEC中,EC=
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a,EM=
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a,
∴MC=
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a
∴cos∠CFM=
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∴∠CFM=arccos
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.
故選Arccos
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了異面直線所成的角,空間中的線面關(guān)系,解三角形等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和思維能力.求異面直線所成的角,一般有兩種方法,一種是幾何法,其基本解題思路是“異面化共面,認(rèn)定再計(jì)算”,即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,結(jié)合余弦定理來求.還有一種方法是向量法,即建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的代數(shù)法和幾何法求解.