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18.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn),A是其上頂點(diǎn),且△AF1F2是等腰直角三角形,延長(zhǎng)AF2與橢圓C交于另一點(diǎn)B,若△AF1B的面積為6,則橢圓C的方程為x29+2y29=1.

分析 由△AF1F2是等腰直角三角形,可得b=c,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x222+y22=1(b>0).在Rt△ABF1中,由勾股定理可得:|AF1|2+|AB|2=|F2B|2,|AF2|=|AF1|=2b,設(shè)|BF2|=m,則|BF1|=2a-m=22b-m,2b2+2b+m2=22bm2,又12|AF1||AB|=12×2b×2b+m=6,聯(lián)立解出即可得出.

解答 解:∵△AF1F2是等腰直角三角形,
∴b=c,
可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x222+y22=1(b>0).
在Rt△ABF1中,由勾股定理可得:|AF1|2+|AB|2=|F2B|2,
|AF2|=|AF1|=2b,設(shè)|BF2|=m,則|BF1|=2a-m=22b-m,
代入可得:2b2+2b+m2=22bm2,
12|AF1||AB|=12×2b×2b+m=6,
聯(lián)立解得b2=92,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x29+2y29=1.
故答案為:x29+2y29=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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