Question

如圖所示，直線x=2與雙曲線C：的漸近線交于E₁，E₂兩點(diǎn)，記=，=，任取雙曲線C上的點(diǎn)P，若=a+b，則實(shí)數(shù)a和b滿足的一個(gè)等式是________．

Answer 1

4ab=1
分析：求出雙曲線C的漸近線方程為y=±x，令x=2，得出直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點(diǎn)E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1）．再設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)=a+b，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（2a+2b，a-b），最后將這個(gè)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后即可得到4ab=1，即為所求．
解答：∵雙曲線C的方程是
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±x
∴直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點(diǎn)E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵=a+b，
∴，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（2a+2b，a-b）
∵點(diǎn)P在雙曲線C：上
∴-（a-b）²=1，即4ab=1
故答案為：4ab=1
點(diǎn)評(píng)：本題以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，考查了雙曲線的基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及平面向量基本定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．