Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為．
（I）求p于m的值；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C上一點p的橫坐標為t（t＞0），過p的直線交C于另一點Q，交x軸于M點，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN是C的切線，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線方程得其準線方程，進而根據(jù)拋物線定義可知點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，求得p，則拋物線方程可得，把點A代入拋物線方程即可求得m．
（2）由題意知，過點P（t，t²）的直線PQ斜率存在且不為0，設(shè)其為k．則根據(jù)點斜式可知直線PQ的直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，解得方程的根，根據(jù)QN⊥QP，進而可知NQ的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解得方程的根．進而可求得直線NM的斜率，依據(jù)MN是拋物線的切線，則可求得物線在點N處切線斜率進而可建立等式．根據(jù)判別式大于等于0求得t的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：
，根據(jù)拋物線定義
點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，
即，解得
∴拋物線方程為：x²=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2
（Ⅱ）由題意知，過點P（t，t²）的直線PQ斜率存在且不為0，設(shè)其為k．
則l_PQ：y-t²=k（x-t），
當，
則．
聯(lián)立方程，
整理得：x²-kx+t（k-t）=0
即：（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t∴Q（k-t，（k-t）²），
而QN⊥QP，∴直線NQ斜率為
∴，
聯(lián)立方程
整理得：，
即：kx²+x-（k-t）[k（k-t）+1]=0[kx+k（k-t）+1][x-（k-t）]=0，
解得：，
或x=k-t∴，
∴
而拋物線在點N處切線斜率：
∵MN是拋物線的切線，
∴，
整理得k²+tk+1-2t²=0
∵△=t²-4（1-2t²）≥0，
解得（舍去），或，∴
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學生對直線與拋物線的關(guān)系，直線的斜率等問題綜合把握．