Question

已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)設(shè)a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，2－)與(2＋，＋∞)；

f(x)的遞減區(qū)間是(2－，2＋)

（2）

【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1.

f′(x)＝3x2－12x＋3

＝3(x2－4x＋1)

＝3(x－2＋)(x－2－)．

當(dāng)x＜2－，或x＞2＋時(shí)，得f′(x)＞0；

當(dāng)2－＜x＜2＋時(shí)，得f′(x)＜0.

因此f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，2－)與(2＋，＋∞)；

f(x)的遞減區(qū)間是(2－，2＋)．

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3，

Δ＝36a2－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x1x2＝1，

可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，

解得＜a＜，

因此a的取值范圍是.