Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=-e^-x+e^x有最小值2；
②函數(shù)f（x）=4sin（2x-

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)；
③若“p且q”為假命題，則p、q為假命題；
④已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足：對(duì)?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
若當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用基本不等式求函數(shù)最小值判斷命題①；
把x=

π

6

代入函數(shù)解析式求解函數(shù)值判斷命題②；
由復(fù)合命題的真值表判斷命題③；
利用奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)間的關(guān)系判斷命題④．

解答： 解：對(duì)于①，∵e^x＞0，
∴f（x）=e^-x+e^x≥2

e-x•ex

=2，命題①正確；
對(duì)于②，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f(

π

6

)=4sin(2×

π

6

-

π

3

)=0，
∴函數(shù)f（x）=4sin（2x-

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，命題②正確；
對(duì)于③，若“p且q”為假命題，則p或q為假命題，∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由對(duì)?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
∴該函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，
又當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，說(shuō)明函數(shù)是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)也為增函數(shù)，即當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0．命題④正確．
∴正確命題的序號(hào)是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，解答④的關(guān)鍵是明確奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系，是中檔題．