設(shè)函數(shù)f(x)=loga(a2x)•loga(ax) (a>0且a≠1),
1
9
≤x≤9.令t=logax
(1)若t∈[-2,2],求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=
3
時,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值及對應(yīng)的x值.
分析:(1)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),解對數(shù)不等式即可.
(2)利用換元法,結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值和最小值.
解答:解:(1)當(dāng)a>1時,
1
9
≤x≤9.
t=logax∈[loga
1
9
,loga9]

∵t∈[-2,2],
loga
1
9
≥-2
loga9≤2
-loga9≥-2
loga9≤2
∴l(xiāng)oga9≤2=logaa2

∵a>1,∴a2≥9,a≥3.
當(dāng)0<a<1時,
1
9
≤x≤9.
t=logax∈[loga9,loga
1
9
]

∵t∈[-2,2],
loga9≥-2
loga
1
9
≤2
loga9≥-2
-loga9≤2
∴l(xiāng)oga9≥-2=logaa-2

∵0<a<1,
a-2≥9,a2
1
9
,0<a≤
1
3

綜上0<a≤
1
3
或a≥3

( II) 由f(x)=(log
3
x+2)•(log
3
x+1)=(log
3
x)2+3log
3
x+2=t2+3t+2

g(t)=t2+3t+2=(t+
3
2
)2-
1
4
,t∈[-4,4]

當(dāng)t=-
3
2
時,g(t)min=-
1
4

log
3
x=-
3
2
⇒x=(
3
)-
3
2
=3-
3
4
=
43
3

f(x)min=-
1
4
,此時x=
1
27
(寫成x=3-
3
4
也可以)
當(dāng)t=4時,g(t)max=g(4)=30,
log
3
x=4⇒x=9

∴f(x)max=30,此時x=9.
點評:本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)運(yùn)算,利用換元法是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
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