Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx-

3

cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為6π．
（1）求ω的值；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f（3α-

π

2

）=

1

17

，f（3β+π）=

11

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用周期求出函數(shù)關系式．
（2）根據(jù)（1）的結論，利用關系變換求出對應的sinα=

15

17

，cosβ=

4

5

，最后求出cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sinωx-

3

cosωx+1=2sin（ωx-

π

3

）+1
由于：函數(shù)的最小正周期為6π．
所以：T=

2π

ω

=6π
解得：ω=

1

3

（2）由（1）知：f（x）=2sin（

1

3

x-

π

3

）+1
f(3α-

π

2

)=2sin(α-

π

2

)+1=-2cosα+1=

1

17

所以：cosα=

8

17

f(3β+π)=2sinβ+1=

11

5

所以：sinβ=

3

5

α，β∈[0，

π

2

]，根據(jù)同角三角函數(shù)恒等式，
所以：sinα=

15

17

，cosβ=

4

5

所以：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

13

85

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的應用，函數(shù)解析式的確定，同角三角函數(shù)關系式的應用．屬于基礎題型．