Question

給出以下命題，其中正確命題序號為

 

．
（1）若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1 對稱； 
（2）“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要條件；
（3）函數(shù)y=2^x-1的反函數(shù)為y=log₂（x+1）其中x＞-1； 
（4）已知f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)，若f′（x₀）=0，則x₀必為函數(shù)的極值點； 
（5）某城市現(xiàn)有人口a萬人，預計人口年平均增長率為p．那么該城市第十年年初的人口總數(shù)為a（1+p）⁹萬人．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)⇒y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，從而可得函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱； 
（2）若“x≠1”，則“x²≠1”的逆否命題：若“x²=1”，則“x=1”，“x≠1”，可知“x=1”，“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要條件，從而可判斷（2）；
（3）求得函數(shù)y=2^x-1的反函數(shù)為：y=log₂（x+1）其中x＞-1，再判斷即可； 
（4）f（x）=x³，f′（0）=0，0不是函數(shù)的極值點，從而可判斷（4）； 
（5）依題意，可得該城市第十年年初的人口總數(shù)為a（1+p）⁹萬人，從而可判斷（5）．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，∴y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
而函數(shù)y=f（x-1）的圖象是將y=f（x）的圖象向右平移一個單位，∴函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故（1）正確； 
（2）若“x≠1”，則“x²≠1”的逆否命題為：若“x²=1”，則“x=1”，顯然，“x²=1”是“x=1”的不充分但必要條件，由原命題與其逆否命題的等價關(guān)系可知，
“x≠1”是“x²≠1”的必要不充分條件，故（2）錯誤；
（3）由y=2^x-1得：x=log₂（y+1）（y＞-1），
所以，函數(shù)y=2^x-1的反函數(shù)為y=log₂（x+1）其中x＞-1，故（3）正確； 
（4）已知f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)，若f′（x₀）=0，則x₀必為函數(shù)的極值點，錯誤，如f（x）=x³，f′（0）=0，但0不是函數(shù)的極值點（在0的兩側(cè)，導數(shù)符號相同）； 
（5）某城市現(xiàn)有人口a萬人，預計人口年平均增長率為p，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：該城市第十年年初的人口總數(shù)為a（1+p）⁹萬人，正確．
故答案為：（1）（3）（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的奇偶性與對稱性，考查函數(shù)的極值，考查充分必要條件的應(yīng)用，屬于中檔題．