Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求證：數列是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴，
∴，，
∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列．
，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
．①
．②
由①-②得．
∴．
分析：（I）由于各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1，即可得到，轉化為等差數列，利用通項公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知．利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．
點評：熟練掌握等差數列的通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．