設(shè)a＞0，f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f（-x）=f（x），x∈R．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）取x=1，則f（-1）=f（1），化簡(jiǎn)即可解出．
（2）利用單調(diào)遞增函數(shù)的定義即可證明．
解答： （1）解：取x=1，則f（-1）=f（1），即
e-1
a
+
a
e-1
=
e
a
+
a
e
，
∴
1
ae
+ae=
e
a
+
a
e
，
∴(a-
1
a
)．e+(
1
a
-a)•
1
e
=0，
∴(a-
1
a
)(e-
1
e
)=0． 
∵e-
1
e
≠0，∴a-
1
a
=0．
∴a2=1．
又a＞0，∴a=1．                                         
（2）證明：由（1）知f(x)=ex+
1
ex
． 
 設(shè)0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(ex1+
1
ex1
)-(ex2+
1
ex2
)
=(ex1-ex2)+
ex2-ex1
ex1•ex2

=(ex1-ex2)(1-
1
ex1ex2
)
=(ex1-ex2)•
ex1+x2-1
ex1+x2
＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）計(jì)算（-2）101+（-2）100；
（2）已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy．求x：y的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)命題p：函數(shù)y=cos2x的最小正周期是
π
2
 命題q：函數(shù)y=sinx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則下列判斷正確的是（　�。�
A、p∨q為真B、p∧q為假
C、P為真D、￢q為假

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2x+3，x∈[0，3]的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）在x∈[0，+∞）上為增函數(shù)，且f（-3）=0，則不等式f（2x-1）＜0的解集為（　�。�
A、（-1，2）
B、（-∞，-1）∪（2，+∞）
C、（-∞，2）
D、（-1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①非零
a
，
b
滿(mǎn)足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
+
b
的夾角為30°；
②
a
•
b
＞0，是
a
，
b
的夾角為銳角的充要條件；
③命題“若m2+n2=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0則m≠0或n≠0”；
④若（
AB
+
AC
）•（
AB
-
AC
）=0，則△ABC為等腰三角形；
以上命題正確的是
 
（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x
的遞增區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
-x2+x+2
的定義域和值域．

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