Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的兩個焦點的坐標分別為，，并且經(jīng)過點（，），M、N為橢圓上關(guān)于軸對稱的不同兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，試求點的坐標；

（3）若為軸上兩點，且，試判斷直線的交點是否在橢圓上，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）

（2）、、、

（3）在，答案見解析.

【解析】

試題分析：第一問求橢圓的方程，可以應(yīng)用待定系數(shù)法求解，也可以應(yīng)用橢圓的定義來求，用橢圓所過的一個點到兩個焦點的距離為2a來求解，第二問，通過向量的數(shù)量積等于0和點在橢圓上，找出點的坐標所滿足的方程組，從而得結(jié)果，第二問注意垂直關(guān)系由向量的數(shù)量積等于0來體現(xiàn)，第三問注意判斷點在曲線上的條件可以由點的坐標滿足方程來體現(xiàn).

試題解析：（1）依定義，橢圓的長軸長，（1分）

又， （3分）

因此，所求的橢圓標準方程為. （4分）

或：設(shè)橢圓的標準方程為 （1分）

因為點（，）在橢圓上，所以 又 （3分）

解得

因此，所求的橢圓標準方程為. （4分）

（2）設(shè)，，則，，（5分）

因為， 所以，即①， （6分）

因為點在橢圓上，所以② （7分）

由①②解得 ，或. （8分）

因此，符合條件的點有、、、. （9分）

（3）設(shè)，則直線、的方程分別為

③，④ （10分）

設(shè)直線與直線交點為P，將其坐標代人③、④并整理，得

⑤ ，⑥ （11分）

⑤與⑥相乘得 ⑦， （12分）

又，，代入⑦化簡得 . （13分）

因此，直線與直線的交點仍在橢圓上. （14分）

考點：橢圓的標準方程，向量垂直的等量關(guān)系，點在曲線上的判定方法.