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18.已知函數(shù)f(x)=lnx,x∈(1,+∞)的圖象在點(diǎn)(x0,lnx0)處的切線為l,若l與函數(shù)g(x)=12x2的圖象相切,則x0必滿足( �。�
(ln2≈0.6931,ln3≈1.0986)
A.1<x02B.2<x0<2C.2<x0<3D.3<x0<4

分析 求出函數(shù)f(x)=lnx的導(dǎo)數(shù),g(x)=12x2的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,切線的方程,可得1x0=m12m2=lnx0-1,再由零點(diǎn)存在定理,即可得到所求x0范圍.

解答 解:函數(shù)f(x)=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1x,
在點(diǎn)(x0,lnx0)處的切線的斜率為k=1x0,
切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0)(x0>1),
設(shè)切線與g(x)=12x2相切的切點(diǎn)為(m,12m2),
即有g(shù)(x)=12x2的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=x,
可得1x0=m,切線方程為y-12m2=m(x-m),
令x=0,可得y=12m2=lnx0-1,
由m=1x0,可得12x02+lnx0-1=0,
令f(x)=12x+lnx1,x>1,
f′(x)=1+2x2x2>0,f(x)在x>1遞增,
且f(2)=14+ln2-1<0,f(3)=16+ln3-1>0,
則有12x02+lnx0-1=0的根x0∈(2,3).
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的方程和單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想,以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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