Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c的最小值為-1，且對(duì)任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函數(shù)是定義域?yàn)榉强諗?shù)集，且不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先由函數(shù)的最小值為-1和對(duì)任意x都有f（-1+x）=f（-1-x），建立方程組求的解析式．
（2）對(duì)函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間進(jìn)行討論，確定λ的取值范圍．
（3）考慮函數(shù)的存在性問(wèn)題求得p的取值范圍．

解答： 解：（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c的最小值為-1，
則：

4ac-4

4a

=-1
對(duì)任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．
-

2

2a

=-1
解得：a=1  c=0
故函數(shù)解析式為：f（x）=x²+2x
（2）由（1）得：f（x）=x²+2x
由于g（x）=f（-x）-λf（x）+1
則：g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1
g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)
則：①當(dāng)λ=-1時(shí)，g（x）=-4x+1，g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)
②當(dāng)λ＞-1時(shí)g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是開(kāi)口方向向上的拋物線
-

2λ-2

2(λ+1)

≥1解得：-1＜λ≤0
故：-1＜λ≤0
③當(dāng)λ＜-1時(shí)g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是開(kāi)口方向向下的拋物線

2λ-2

2(λ+1)

≤-1解得：λ＜-1
故：λ＜-1
綜上所述：λ≤0
（3）函數(shù)h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函數(shù)是定義域?yàn)榉强諗?shù)集，且不存在零點(diǎn)
只需滿足：P＞（x²+2x）_min=1即可
即p＞0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)對(duì)稱軸和定區(qū)間的關(guān)系，以及函數(shù)的存在性問(wèn)題．