【答案】
分析:(1)(I)
,由已知二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(-1,-1)與(0,-2).可構(gòu)造關(guān)于a,b,c,d的四元一次方程組,解方程組可得矩陣M,進而得到矩陣M的逆矩陣M
-1;
(Ⅱ)由(I)中矩陣M及直線l在變換M作用下得到了直線m:2x-y=4,構(gòu)造關(guān)于x,y的關(guān)系式,整理后可得l的方程.
(2)(I)由已知直線的極坐標方程為
,根據(jù)y=ρsinθ,x=ρcosθ可得直線方程,根據(jù)圓M的參數(shù)方程為
利用三角函數(shù)平方關(guān)系,消去參數(shù),可得圓的方程.
(II)根據(jù)(I)中所得直線與圓的方程,將圓心坐標及直線方程代入點到直線距離公式,求出圓心到直線的距離,減掉圓半徑,可得圓上點到直線的最近距離.
(3)(I)利用零點分段法,可將函數(shù)的解析式化為一個分段函數(shù)的形式,進而得到f(x)為常數(shù)函數(shù)時,x的取值范圍
(II)分析函數(shù)的值域,進而根據(jù)關(guān)于x的不等式f(x)-a≤0有解,a不小于函數(shù)最大值,可得答案.
解答:(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
解:(Ⅰ)設(shè)
,則有
=
,
=
,
所以
,
解得
所以M=
,從而|M|=-2,
從而M
-1=
(Ⅱ)因為
且m:2x'-y'=4,所以2(x+2y)-(3x+4y)=4,
即x+4=0,這就是直線l的方程
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
解:(Ⅰ)∵
∴
,∴ρsinθ+ρcosθ=1.
所以,該直線的直角坐標方程為:x+y-1=0.
(Ⅱ)圓M的普通方程為:x
2+(y+2)
2=4
圓心M(0,-2)到直線x+y-1=0的距離d=
.
所以,圓M上的點到直線的距離的最小值為
-2.
(3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講
解:(Ⅰ)f(x)=|x-1|+|x+3|=
則當(dāng)x∈[-3,1]時,f(x)為常函數(shù).
(Ⅱ)法一:畫圖,由(1)得函數(shù)f(x)的最小值為4,
法二:|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|;
∴|x-1|+|x+3|≥4,
等號當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-3,1]時成立.
得函數(shù)f(x)的最小值為4,則實數(shù)a的取值范圍為a≥4.
點評:本題是選修三選一,(1)的關(guān)鍵是熟練掌握矩陣運算公式,(2)的關(guān)系是將極坐標方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程,(3)的關(guān)鍵是用零點分段法,化簡函數(shù)的解析式.